دانشگاه یزد
دانشکده مهندسی معدن و متالورژی
پایان نامه
برای دریافت درجه کارشناسی ارشد
مهندسی معدن-گرایش فرآوری مواد معدنی
بررسی و اصلاح سیستم نمونهبرداری و موازنهی جرم در کارخانهی فرآوری مگنتیت گلگهر سیرجان
استاد راهنما: دکتر رضا دهقان
استاد مشاور: دکتر علی دهقانی
پژوهش و نگارش: سید علی حسینی
اسفندماه 92
چکیده
کارخانهی فرآوری مگنتیت مجتمع گلگهر سیرجان، شامل سه مدار خردایش خشک و طبقهبندی، جدایش مغناطیسی خشک و خردایش و جدایش مغناطیسی تر میباشد که تناژ خوراک ورودی به کارخانه 450 تن بر ساعت و تناژ کنسانتره نهایی (کنسانتره تر و خشک) آن، 200 تن بر ساعت است. تعداد گرهها و جریانها به منظور موازنه جرم در مدار خردایش خشک و طبقه بندی و جدایش مغناطیسی خشک به ترتیب 4 و 8 عدد و در مدار خردایش و جدایش مغناطیسی تر، به ترتیب، 9 و 16 عدد میباشد. در این تحقیق، ابتدا نرخ جریانهای نامعلوم، با استفاده از دادههای به دست آمده از طریق نمونه برداری دستی از جریانهای قابل دسترسی در حالت پایدار و در شیفتهای مختلف کاری کارخانه، محاسبه و سپس با استفاده از تکنیک سازگارکردن دادهها، نتایج به دست آمده تصحیح و در نهایت وزن جزء نمونهها و پارامترهای سیستم نمونهبرداری بهینه محاسبه شده است. مسئله سازگارکردن دادهها در این تحقیق، غیرخطی میباشد. پس از موازنه جرم، سازگار کردن و تصحیح مقادیر عیار و تناژ اندازهگیری شده، با استفاده از رویکردهای مختلفی شامل حل معادلات ماتریسی در نرم افزار متلب با استفاده از روشهای تحلیلی خطی و عددی غیرخطی کلاسیک و فرا ابتکاری (همچون الگوریتم ژنتیک و روش ترکیبی)، روشهای دو خطی کرو، ماتریس پروژکشن و سیمپسون (با استفاده از جریانهای اندازهگیری نشده 1، 3، 11 و 14) و روش تصحیح دادهها در نرم افزار موازن برای تشخیص دادههای پرت و حذف آنها، انجام شده است. در ادامه، برای نقاط مهم و ضروری در مدار فرآوری مگنتیت، وزن، تعداد و فاصلهی زمانی اخذ جزء نمونهها، با استفاده از روش واریوگرام، محاسبه شده است. در این تحقیق، نشان داده شد که روش ترکیبی برای هر سه مدار کارخانه، بهترین نتایج کمینه سازی را در بر دارد به عنوان مثال، مقدار ماکزیمم خطای برقراری شروط، با روش ترکیبی برای مدار خردایش و جدایش مغناطیسی تر از 730/1310 به 12-10×364/1 واحد، کاهش یافت. به علاوه، مقدار بازیابی تخمینی کل در مدار خردایش و جدایش مغناطیسی تر، از 93/86 درصد به 22/96 درصد افزایش یافت.
کلمات کلیدی: موازنهی جرم، سازگارکردن دادهها، روش ترکیبی، وزن جزء نمونه، سیستم نمونه برداری، گلگهر.
فصل اول
مروری بر روشهای سازگارکردن دادهها و محاسبات نمونهبرداری
1- مقدمه
در کارخانههای کانهآرایی، اعتبار دادههای اندازهگیری شده و جامع بودن آنها، نقش اساسی در ارزیابی صحیح از سیستم ایفا میکند؛ به طوری که دادههای نامعتبر ممکن است مسئولین را به کلی در تصمیمگیریها دچار اشتباه نماید. از طرفی، در یک کارخانه فرآوری، اندازهگیریها همواره دارای خطا هستند؛ از این رو لازم است قبل از استفاده دادههای اندازهگیری شده تصحیح شوند. به علاوه، در بسیاری اوقات، اندازهگیری برخی دادهها، از جریانهای کارخانه، به لحاظ برخی محدودیتهای فنی یا اقتصادی، امکان پذیر نمیباشد. به عنوان مثال، در اغلب کارخانههای فرآوری، اکثر نرخهای جریان1، اندازهگیری نمیشوند؛ لذا مقادیر این گونه دادهها باید به نحوی تخمین زده شوند ]1[. به طور کلی، دادههای اندازهگیری شده و اندازهگیری نشده، هر کدام، به دو دسته تقسیم میشوند ]2[:
1- دادههای اندازهگیری شده
قابل تعدیل: یک متغیر اندازهگیری شده زمانی قابل تعدیل است که مقادیر آنها میتواند تحت نظر مدل موازنه جرم به صورت بهینه اصلاح شود (افزونه2) که اصطلاحأ افزونگی دادهها نامیده میشود.
داده تعیین شده (غیر قابل تعدیل مثلأ توسط سیستمهای توزین و…): زمانی که از قبل دبی جریانها اندازهگیری شده باشد و به وسیله روش تلفیق دادهها امکان اصلاح ندارند.
2- دادههای اندازهگیری نشده
داده قابل مشاهده3: یک داده زمانی قابل مشاهده است که بتواند با استفاده از مدل موازنه جرم و مقادیر اندازهگیری شده در حالت پایدار، تخمین زده شود.
داده غیر قابل مشاهده4: یک داده زمانی غیر قابل مشاهده است که با استفاده از دادههای اندازهگیری شده موجود و معادلات موازنه جرم در حالت پایدار، نتواند تخمین زده شود.
سازگارکردن دادهها5 به عنوان بخشی از مسئلهی موازنه جرم، ممکن است تنها شامل تصحیح دادههای معلوم (تناژ و عیار) باشد و یا اینکه قبل از تصحیح دادهها، محاسبه تناژ و عیارهای مجهول را نیز انجام دهد]2[.
هدف از این فصل، تشریح اهداف موازنه جرم، مزایا و روشهای حل مسئله موازنه جرم در مدارهای فرآوری و بیان روشهای مختلف سازگارکردن دادهها به صورت پایا6 است. یک واحد عملیاتی نسبت به متغیرهای عملیاتی در حالت پایا است؛ اگر متغیرهایش با زمان تغییر نکنند. به عنوان مثال در یک واحد خردایش در حالت پایا، نباید توزیع ابعادی خوراک و دبی آن، نسبت به زمان نوسان داشته باشد. اگر گفته شود، آسیا در حالت پایا کار میکند، نباید هیچ متغیر عملیاتی آسیا، نسبت به زمان تغییر کند و بنابراین، محصول آسیا نیز باید با دبی و توزیع ابعادی ثابتی به دست آید. در روشهای پایا که موضوع این تحقیق است، بسته به شکل معادله شرط، مسئله سازگارکردن ممکن است به صورت خطی7، دو خطی8، یا غیرخطی9 باشد. با توجه به اینکه شروط لازم برای حل مسئله سازگارکردن دادهها به صورت معادله یا نامعادله نوشته میشوند، میتوان این شروط را به صورت زیر تفکیک کرد]2[:
1- معادله (شروط مساوی)
بقای جامد: با توجه به اینکه این شرط، به صورت حاصلضرب ماتریس ارتباط10 گره و جریان، در ماتریس تناژهای جامد که یک متغیر محسوب میشود، نوشته میشود، خطی میباشد.
بقای فلز: به صورت حاصلضرب ماتریس ضرایب در ماتریس تناژها و عیارها (هر دو متغیر) نوشته میشود و بنابراین دو خطی محسوب میشود.
2- نامعادله: در نظر گرفتن شروط به صورت یک نامساوی.؛ به عنوان مثال عیار جریان خوراک کوچکتر یا مساوی عیار جریان کنسانتره باشد. به طور کلی شروط نامساوی، حل مسئله سازگارکردن دادهها را غیرخطی میکنند. بنابراین با دخیل کردن نامعادلات به عنوان شروط نامساوی حالت غیرخطی پیش میآید. با توجه به مفاهیم فوق، مسئله سازگارکردن دادهها زمانی خطی است که مدلها خطی بوده و همهی متغیرها اندازهگیری شده باشند، یا متغیر اندازهگیری نشده نیز وجود داشته باشد. در حالتی که متغیرها اندازهگیری نشده باشند، اصطلاحأ خطی سازی11 برای سادهتر شدن حل مسئله سازگارکردن دادهها، انجام میشود که در ادامه به تفصیل مورد بررسی قرار گرفته است.
مسئله، زمانی دو خطی است که همزمان از دو متغیر تناژ جامد و عیار در تابع شرط به صورت حاصلضرب دو متغیر، استفاده شود. بنابراین روش دو خطی یک نوع روش غیرخطی نیز محسوب میشود و زمانی غیرخطی است که شروط نامساوی یا نامعادلات در مسئله وجود داشته باشند]2[.
در این تحقیق، روشهای مورد استفاده برای سازگارکردن دادههای اندازهگیری شده در حالت پایا و به روش غیرخطی عبارتند از: روشهای تحلیلی، کلاسیک، فرا ابتکاری (الگوریتم ژنتیک و روش ترکیبی). هر کدام از این روشها، شروطی برای حل مسئله به روش عددی در نظر گرفته و سعی در کمینه کردن تابع مجموع مربعات یا تابع هدف12 و مینیمم کردن خطای برقراری شروط13 به منظور سازگارکردن دادهها یا خطایی که به ازای آن شروط در حل مسئله کمینهسازی برقرار میشوند، را دارند. در مرحله بعد با در نظر گرفتن دادههای اندازهگیری نشده، سازگارکردن دادهها با استفاده از روشهای دو خطی کرو، ماتریس پروژکشن و سیمپسون14 انجام میشود. لازم به ذکر است که روش کرو و سیمپسون با استفاده از خطی سازی مناسب، مسئله را حل میکنند.
به منظور بررسی میزان حساسیت موازنه جرم به دادهها با توجه به محتوای اطلاعاتی آنها، انواعی از آنالیز حساسیت دادههای سازگار شده با استفاده از مقدار تصحیح استاندارد شده دادهها و میزان اریب بودن و انحراف دادهها از حالت استاندارد]1[، نیز در این فصل معرفی شده است. همچنین در این فصل روش واریوگرام به منظور تعیین تعداد جزء نمونههای لازم در قسمتهای مختلف مدارهای فرآوری، با در نظر گرفتن سطح اطمینان مهندسی و تعیین خطای روشهای نمونه برداری مختلف، اعم از سیستماتیک، ردیفی تصادفی و تصادفی]3[، معرفی شده و در پایان مثالهایی ارائه شده است.
برای کنترل عملیات و تنظیم آن در یک کارخانه کانهآرایی و به منظور دستیابی به شرایط مناسب، لازم است بار موجود در مسیرهای مختلف کارخانه، طبق برنامه از نظر کیفی و کمی تحت بررسی قرار گیرد. این امر مستلزم در اختیار داشتن نمونههایی است که معرف بار موجود در آن مسیرها باشند ]1[. در تمامی کارخانههای فرآوری مواد معدنی، نمونهبرداری صحیح از جریانهای مختلف کارخانه، راهی متداول و شناخته شده برای آگاهی از نحوهی توزیع و کیفیت مواد معدنی، در بخشهای مختلف کارخانه است و معمولاً اطلاعات و دادههای بدست آمده از نمونهبرداری، مبنای هر گونه تصمیمگیری و اقدامات بعدی برای افزایش بهرهوری و کارآیی کارخانه میباشد. لذا موفقیت عملیاتهایی از قبیل مدلسازی، کنترل، عیبیابی، بهینهسازی و ….، به طور مستقیم به چگونگی نمونه برداری و سطح اطمینان دادههای بدست آمده از عملیات نمونه برداری بستگی دارد. بنابراین در اجرای هر نوع نمونهگیری از کارخانههای کانهآرایی، باید ضمن آگاهی از انواع مختلف خطاهای نمونه برداری که ممکن است در مراحل مختلف و به دلایل متفاوت بروز کند، دقت شود تا حتیالامکان از بروز خطای فاحش15 جلوگیری شود، تا اطلاعات حاصله دارای صحت کافی باشند و بتوان با اطمینان بر اساس آنها تصمیمهای لازم را اتخاذ نمود ]1[.
با پیشرفت روشهای کامپیوتری و ابزارهای نمونهبرداری و اندازهگیری در اکثر کارخانههای فرآوری مواد معدنی، معمولاً حجم زیادی از دادهها در هر شیفت جمعآوری میشوند. برای استفاده بهینه از این اندازهگیریها، لازم است تا یک سری روشهای ریاضی و آماری، به کار گرفته شوند تا علاوه بر تصحیح مقادیر اندازهگیری شده، متغیرهای اندازهگیری نشده نیز از طریق مقادیر اندازه گیری شده، تخمین زده شوند؛ به عبارت دیگر، در این روشها دادههایی که از منابع مختلف (آزمایشگاه، سیستمهای اندازهگیری برخط16 یا دستی17) حاصل میشوند، پردازش شده و به اطلاعات با اعتبار بیشتر، تبدیل میشوند. از این اطلاعات میتوان به منظور مدیریت بهتر کارخانه، کنترل و بهینهسازی عملیات، مدلسازی فرآیندها، بررسی عملکرد تجهیزات مختلف، تعمیر حسگرهای اندازهگیری و بسیاری از عملیات دیگر استفاده نمود ]1[. مهم‌ترین ویژگی دادههای اندازهگیری شده از یک مدار فرآوری مواد معدنی، موازنه بودن آنها است؛ ولی اغلب به دلایل مختلف، از جمله، عدم پایداری18 سیستم، هنگام نمونهبرداری، وجود خطا در مراحل مختلف نمونه برداری، آمادهسازی و آنالیز نمونهها، این امر حاصل نمیشود. در یک روش موازنهی جرم جامع، ابتدا با توجه به متغیرهای اندازهگیری شده و قیدهای بقای جرم، متغیرها، طبقه بندی شده و مسئله به چند مسئله کوچک‌تر افراز میشود. سپس خطاهای سیستماتیک که روشهای آماری تصحیح دادهها را بی اعتبار میسازند، مشخص شده و دادههای دارای این نوع خطا، مورد بازبینی مجدد قرار گرفته و یا از مجموعه دادههای دخیل در موازنهی جرم، حذف میشوند. در نتیجه، مقادیر اندازهگیری شده، تصحیح و متغیرهای اندازهگیری نشدهی تناژ و عیار، تخمین زده میشوند ]1[.
کارخانه فراوری مواد معدنی از تعداد زیادی واحدهای به هم پیوسته در شبکه پیچیدهای از جریان‌ها تشکیل شده است. در این کارخانهها، اندازهگیریهای دبی جرمی جریان مواد و کسرهای جرمی انواع گونهها، معمولاً به منظور کنترل و ارزیابی عملکرد فرایند انجام میشود. انتظار می‌رود این اندازهگیریها، معادلات قید بقای جرم، در حالت پایدار فرآیند را ارضا نمایند ]4[. با این حال، به دلیل وجود خطاهای تصادفی یا سیستماتیک در داده‌های فرآیند، این قیود به طور کامل برآورده نمیشوند. سازگار کردن دادهها یک تکنیک شناخته شده است که با توجه به موازنه مواد و انرژی و از طریق برآورد متغیرهای اندازهگیری نشده، تخمین‌هایی را ارائه میکند ]5و6[.

1-2- سازگارکردن دادهها در حالت پایا
1-2-1- سازگارکردن در حالت خطی
خطای اندازهگیری ناشی از تغییراتی مانند به هم چسبیدن ذرات، توسط جی19برای روشهای مختلف نمونهبرداری (تصادفی، ردیفی و سیستماتیک) مورد مطالعه قرار گرفته است. جی این خطا را، خطای تلفیقی نامیده است. در این قسمت، روشهای سازگارکردن دادهها برای تصحیح خطاهای تلفیقی همبسته20 به کار میروند. معمولأ، مشکل در کارخانههای پیچیدهای به وجود میآید که برخی از متغیرهای فرآیند با توجه به ملاحظات فنی و صنعتی، قابل اندازهگیری نیستند. هنگامیکه دادهها قابل تعدیل باشند، با توجه به مجموعهای از معادلات که بیانکننده قیدهای بقای جرم مواد هستند، این امکان وجود دارد که با استفاده از روشهای مناسب سازگارکردن داده، خطاهای اندازهگیری تصحیح و به طور همزمان متغیرهای اندازهگیری نشده فرآیند تخمین زده شود. این کار معمولاً با استفاده از روش حداقل مربعات وزندار و مقید، قابل انجام است. اگرچه فرض ناهمبسته بودن خطاها خیلی اوقات درست است، اما این فرض همواره صحیح نیست. روش آنالیز مواد یا خود دستگاه اندازهگیری به خودی خود ممکن است منجر به ایجاد همبستگی بین خطاهای اندازهگیری شود. به عنوان مثال در آزمایش سرندی، خطاها همبسته میباشند، زیرا باقی ماندن نادرست مواد بر روی یک سرند، لزومأ باعث از دست رفتن مواد روی سرند بعدی میشود. روش‌هایی که در آن فلزات مختلف، به طور همزمان در یک نمونه مورد آنالیز قرار میگیرند، نیز ممکن است منجر به همبستگی خطاها شوند. در صورت وجود تغییرات همبسته در متغیرهای فرآیند، طرح نمونه‌برداری از جریان ممکن است موجب بروز همبستگی قابل توجهی در خطاهای اندازهگیری شود که موضوع این تحقیق نیست و فرض بر این است که کلیه واحدهای عملیاتی در حالت پایا هستند. هنگام نمونهبرداری از یک کارخانه فرآوری مواد معدنی برای تخمین شرایط عملیاتی پایدار، یکی از منابع عمده، خطای اندازهگیری وابسته به تغییرات متغیرهای جریان است. این خطا در مورد ذرات ریزی که مقدار خطای بنیادی برای آن‌ها ناچیز است، سهم عمدهای ایفا میکند. در مورد نمونهبرداری سیستماتیک (موضوع این تحقیق)، واریانس خطای تلفیقی برای یک جزء (گونه)21 موجود در جریان مورد نظر، و یا شبکه‌ای از جریانهای نمونهبرداری شده، محاسبه شده است. همبستگیهای ناشی از واحدهای عملیاتی فرآیند و همچنین ناشی از همبستگی بین اجزای کانه، بین خطاهای تلفیقی اندازهگیری، همبستگی ایجاد میکنند]4[.
همبستگی از یک گونه به گونه دیگر و همچنین از یک جریان به جریان دیگر وجود دارد. تنها متغیرهای فرایند که در این مبحث در نظر گرفته میشود، دبی گونهها درجریانهای مختلف است. استفاده از دبی گونهها به جای دبی جریان کانه و عیار اجزاء در آن کانه، باعث میشود تا ضمن اجتناب از ضرب کردن دبی جریان‌ها در کسر جرمی گونه‌ها، معادلات موازنه جرم به صورت خطی ارائه شوند. این ساده سازی مسئله دو خطی، باعث شفافتر شدن روش و اهداف این قسمت میشود. فرض میشود که دبی گونهها متغیرهای فرآیندی گسسته بوده و سیستم فرآوری مواد معدنی در طول زمان NT که در آن T دوره زمانی گسسته و N تعداد کل نرخهای جریان در فاصله زمانی مشاهده شده میباشد، مورد بررسی قرار گرفته است]4[. فلوشیت شکل 1-1، شامل تعداد P جریان بوده و کانه از m جزء تشکیل شده است که در این صورت متوسط دبیهای واقعی اجزاء (yykj) در جریانهای مختلف آنها به صورت زیر قابل ارائه میباشد (k = 1-P , j = 1- m) ]4[:

شکل 1-1: فلوشیت یک کارخانهی فرآوری ]7[
معادله قید بقای جرم در فاصله زمانی [0-NT] برای هرگونه j به صورت زیر نوشته میشود ]4[:
که در آن M ماتریس ارتباط وابسته به شبکهی فلوشیت کارخانه، y_j^* بردار مربوط به میانگین دبی گونهها ​​و aj بردار مربوط به متوسط دبی​​ مواد در فاصله NT، یا عدم موازنه حول گره است. هنگامیکه عملکرد سیستم در فاصله زمانی NT ثابت است، y_j^* میتواند توسط قید حالت پایدار (برقراری موازنه جرم)، یعنی y ̅_j به صورت زیر جایگزین شود ]4[:
در اینجا، فرض بر این است که دبی گونهها، برای برخی از جریانهای کارخانه اندازهگیری شدهاند. این دبیها، با متوسطگیری از مقادیر فاصلهدار n (که دارای فواصل مساوی هستند) درفاصلهی NT، به دست آمدهاند. N لزومأ مضربی از n میباشد. در عمل روشهای مختلفی برای چنین اندازهگیریهایی، بسته به ابزار موجود در دسترس، وجود دارد: 1- ترکیب کردن جزء نمونه ها و آنالیز یک نمونه مرکب یا 2- اندازهگیری متغیرها در همه جزء نمونههای منفرد. طبق قوانین ریاضی نتیجه یکسان است، و میتوان مقادیر اندازهگیری شده vj را به مقادیر واقعی y_j^* نسبت داد]4[:
که در آن Hماتریس مشاهده22 است که از بردار y_j^*، تنها جریانهایی که اندازهگیری می شوند را استخراج میکند. خطاهای اندازهگیری به دو بخش تفکیک میشوند: خطای تلفیقی ϵ_j و سایر خطاها (بنیادی، استخراج جزء نمونه و آماده سازی و آنالیز) که توسط جی، به صورت یکجا در بردار wj جمع شدهاند. فرض بر این است که سایر خطاها، وابسته به خطای تلفیقی نیستند. خطای تلفیقی، که در بیشتر موارد، خطای اصلی فرض میشوند، به عنوان مثال، وابسته به تغییرات دانه بندی گونههای موجود در جریان بوده و همانطور که توسط میرعابدینی (1998)23 نشان داده شده است، همبسته با آن میباشد ]4[. واریانس خطای تلفیقی، به تعداد جزء نمونهها و دورهی زمانی نمونهبرداری بستگی دارد. در نظریهی احتمالات، کواریانس24، اندازهی تغییرات هماهنگ دو متغیر تصادفی است. (اگر دو متغیر یکی باشند، کواریانس برابر واریانس خواهد شد). کواریانس به صورت زیر تعریف می‌شود ]8[:

تابع کواریانس، رابطهی خطی میان دو متغیر (x و y) را بر طبق فرمول فوق اندازه‌گیری می‌کند. این تابع برای نشان دادن همبستگی بین دو متغیر عیار و دانه بندی به کار می‌رود، مثلأ بیان میکند که هر چه ذرات ریزتر شده و به درجه آزادی بالاتری برسند، عیار بالاتر میرود و بنابراین کواریانس بیشتر میشود. به طوری که از نظر ریاضی هم این وابستگی وجود دارد ]8[:

این رابطه بیانگر این است که تا مفهوم کواریانس درک نشود، ضریب همبستگی معنایی ندارد. در بخشهای بعدی با ذکر مثال، بدیهی بودن این مسئله مشخص خواهد شد ]8[.
سازگارکردن دادهها شامل تخمین نرخ جریانی است که معادلهی (1-3) را برقرار میسازد. سازگارکردن دادهها از طریق تخمین دبیهای اندازهگیری شده و اندازهگیری نشده y ̂_j، به گونهای انجام میشود که تابع هدف درجهی 2 ارائه شده در معادلهی (1- 7) تحت شروط ارائه شده در معادلهی (1- 8) کمینه شود ]4[:
ماتریس وزنی Q، برای تخمین ماکزیمم درستنمایی y ̂ که v_ϵ واریانس خطای تلفیقی و W واریانس خطای wj می‌باشد، باید به صورت معکوس واریانسهای اندازهگیری زیر انتخاب شود ]4[:

تخمین زدن v_ϵ و W مشکل است، اما روش سازگارکردن داده هنگامی که مقادیر تقریبی برای Q در معادله (1-7) به کار برده شده است، ممکن است متغیرهای خوبی را ارائه کند.
هنگامیکه بیشتر از یک نوع گونه وجود دارد، v_ϵ شامل عبارات زیر است ]4[:

که در آن، V_(ϵ_(i ) ϵ_j ) نشان دهندهی کوواریانسی است که بین خطاهای تلفیقی وابسته به گونه های مختلف، در جریانهای یکسان و یا متفاوت، وجود دارد. معمولأ، میتوان برای خطای w، واریانس W را به صورت یک ماتریس قطری در نظر گرفت، به این ترتیب فرض میشود که هیچ همبستگی بین آنها وجود ندارد. هنگامی که شرایط V_(ϵ_i ϵ_j ) برای j≠i نادیده گرفته میشود، مینیمم کردن تابع هدف، موضوعی است که با از بین رفتن قیود بقای جرم، به صورت مسائل بهینهسازی مستقل m، مشروط بر اینکه وابستگی بین دبی گونههای مختلف وجود ندارد، مورد مطالعه قرار میگیرد. تفکیک بردار y دبی گونهها، به دو بردار u و v، به ترتیب، نشان دهندهی دبی گونههای اندازهگیری شده و اندازهگیری نشده است. معادلهی قید بقای جرم (1-3)، میتواند به صورت زیر مرتب شود]4[:

A_1 v ̂=0
A_1 v ̂+A_2 u ̂=0
که در آن، A1 و A2 به ترتیب، قابل تعدیل بودن و مشاهده پذیری دادهها را در دو حالت اندازهگیری شده و اندازهگیری نشده، مشخص میکند. حل معادلات (1-7) و (1-11)، منجر به تخمین مقدار سازگار شده زیر که وابسته به y میباشد، می‌شود ]4[:
v ̂=v-Q^(-1) A_1^T (A_1 Q^(-1) A_1^T )^(-1) Av
u ̂=A_2^(-1) [〖A_12 Q^(-1) A_1^T (A_1 Q^(-1) A_1^T)〗^(-1) A_1-A_12 ]v
راه حل جایگزین برای حل مسئلهی سازگارکردن دادهها، توسط معادلات (1- 7) و (1- 8)، به صورت نسبت دادن واریانسهای بسیار بزرگ به متغیرهای اندازهگیری نشده تعریف شده است. اگر چه، این راه حل از نظر ریاضی، کمی از معادلات (1- 12) و (1- 13) سختتر است؛ اما، نتایج مشابهی را ارائه میدهد و برنامه نویسی، به صورت الگوریتم را ساده میکند ]4[.
روشهای ریاضی متعددی برای بهینهسازی مسائل مهندسی وجود دارد. یکی از پرکاربردترین این روشها روش لاگرانژ است که این تکنیک در سازگارکردن دادهها به روشهای مختلف به طور گسترده استفاده شده است. به عنوان مثال با کاربرد روش لاگرانژ برای موازنه یک جداکننده دو محصولی، رابطه زیر وزن بهینه کنسانتره (CC) را با استفاده از دادههای قابل تعدیل محاسبه میکند[9]:
که در رابطه 1-14، fk، مقدار عنصر kام در خوراک، ck، مقدار عنصر kام در کنسانتره و tk، مقدار عنصر kام در باطله میباشد.

1-2-1-1- سازگارکردن درحالت خطی با روش حل تحلیلی25 مسئله بهینهسازی
مسئله بهینهسازی بالا با استفاده از روش ضرایب لاگرانژ قابل حل است، به همین منظور، لاگرانژین L، به صورت زیر تعریف میشود ]10 [:

L = J(X) + 2∑_(k=1)^n▒〖λ_k (امk قید)〗
که در آن، J(x)، تابع هدف کمینهسازی و 2λ، ضریب لاگرانژ مربوط به قید بقای جرم عنصر kام میباشد. بنابراین، برای مسئلهی کمینهسازی فوق، میتوان عبارت لاگرانژین را به صورت زیر نوشت ]10[:
L =(y-y ̂ )^T V^(-1) (y-y ̂)-2〖〖(λ〗^T Ay ̂)〗^T
که در آن، y یک ماتریس MM1 از مقادیر اندازهگیری شده برای M متغیر فرآیند، y ̂، یک ماتریس MM1 از تخمینها (مقادیر سازگار شده تناژها) برای M متغیر فرآیند، V ماتریس واریانس و A ماتریس ارتباط گره و جریان است. به منظور به دست آوردن کمینهی عبارت لاگرانژین، باید مشتق این عبارت، نسبت به مجهولات را برابر صفر قرار داد ]10[:
∂L/(∂y ̂ )=-2V^(-1) (y-y ̂ )-2A^T λ=0
∂L/∂λ=A^T y ̂^T=〖(Ay ̂)〗^T=0→Ay ̂=0
با ضرب طرفین عبارت 1- 17، در ماتریس واریانس V، عبارت زیر حاصل میشود ]10[:
(y-y ̂ )+VA^T λ=0
اکنون، ضمن ضرب طرفین رابطهی 1-19، در ماتریس ارتباط (A)، میتوان نوشت، Ay ̂=0 و در نتیجه رابطهی زیر، به دست میآید ]10[:
Ay + AVA^T λ=0
با مرتب نمودن رابطهی 1- 20، عبارت زیر، حاصل میشود ]10[:
λ= 〖-(AV^(-1) A^T)〗^(-1) Ay
که با جایگذاری مقدار λ در رابطهی 1-17، و مرتب نمودن عبارت حاصله، در نهایت، مسئلهی کمینهسازی به بردار دادههای سازگار شدهی زیر، منجر میشود ]10[:
y ̂=y-VA^T 〖(AVA^T)〗^(-1) Ay
رابطه 1- 22، راه حل اصلی برای سازگارکردن دادهها در یک مسئله حالت پایدار خطی می باشد. پس از به دست آمدن ماتریس تناژ جریانهای مجهول یا مقادیر اندازهگیری شدهی تناژ، (رابطه 1-18)، برای پی بردن به این نکته که دادهها تا چه حد از قوانین ساده موازنه جرم پیروی میکنند، بایستی طبق رابطه (1-22)، تصحیحاتی را روی نتایج موازنه جرم به دست آمده انجام داد ]10[. برای این منظور، فلوشیت شکل 1-2، به عنوان مثالی در نظر گرفته شده است ]10[.

شکل1-2: شبکه جریانهای یک برج خنک کننده ]10[

ماتریس ارتباط A، برای 6 جریان موجود در فلوشیت شکل 1-2، به صورت زیر نوشته میشود ]10[.

ماتریس V، یک ماتریس قطری است که مقادیر واریانس جریانهای فلوشیت، در آن قید شده است ]10[.

در ادامه، با استفاده از رابطهی 1- 22، مقادیر سازگار شده، برای تناژهای اندازهگیری شده به دست خواهد آمد که ستون چهارم جدول 1-1 را تشکیل میدهد ]10[:

جدول1-1: سازگارکردن دادهها برای شبکه جریانهای سیستم خنک کننده]10[
شماره جریاناندازهگیری خام (کیلوتن/ساعت)انحراف معیار (کیلوتن/ساعت)مقدار جریان سازگار شده (کیلوتن/ساعت)مقدار تعدیل شده(کیلوتن/ساعت)15/11082/024/10326/7-28/6053/042/6562/430/3546/082/3782/249/6871/042/6548/3-56/3845/082/3778/0-64/10120/124/10384/1 در ادامه، تنها به روش تصحیح عیارهای مربوط به کل جریانهای مدار، به صورت تحلیلی اشاره شده است. از آنجاکه به طور مستقیم نمیتوان تصحیح عیارها را انجام داد، با استفاده از رابطه زیر (حاصل از قسمت اول رابطه 1-16)، تناژ فلز تصحیح شده، تعیین میشود [11]:
X ̂=inv(C)*(I-A^T*inv(A*inv(C)*A)*A*inv(C))*I^T*inv(V)*X_m , X_m=C*X
C=I^T*inv( V)*I+ A^T*A

در رابطه 1-25، X ̂ ماتریس دبی فلز تصحیح شده، Xm، ماتریس حاصلضرب عیار هر جریان در تناژ (دبی) تصحیح شده، C ماتریس مشاهده برای زمانی است که جریان اندازهگیری نشده در فلوشیت وجود داشته باشد و V ماتریس واریانس مربوطه میباشد که با استفاده از رابطه زیر، تعریف میشود [11]:
V=(∂X/∂V)^2 V_y ̂ +((∂y ̂)/∂V)^2 V_x(1-26)
که در رابطه 1-26، X، عیار هر کدام از جریانها، V_y ̂ ، واریانس تناژهای تصحیح شده، y ̂، تناژهای تصحیح شده و Vx، واریانس عیارها میباشد [11].
پس از تعیین ماتریس دبی فلز تصحیح شده، تمامی آرایههای مربوطه، بر آرایههای مربوط به ماتریس تناژهای تصحیح شده تقسیم میشود تا ماتریس عیارهای تصحیح شده به دست آید؛ بنابراین، با استفاده از این روش، موازنهی فلز، نیز بین تمامی جریانهای ورودی و خروجی از هر گره و نیز بین جریانهای ورودی به مدار و خروجی از آن نیز برقرار است [11].
مفهوم واریانس جریانهای سازگار شده (یا تأثیر کواریانس روی کاهش واریانس)، در ابتدا به صورت تابعی از ماتریس کواریانس متغیرهای جریان بیان میشود]4[. ماتریس کواریانس، تابعی از فاصله بین مشاهدات است؛ یعنی کواریانس بین xi و xi+h، فقط به h که نشان دهنده تأخیر زمانی در فاصله زمانی مشخص است، بستگی دارد. برای دادههایی که از n نقطه مختلف نمونه برداری به دست آمدهاند (x1، ,x2…)، یک ماتریس n×p، تحت عنوان ماتریس کواریانس تعریف میشود ]8[:

نمونهها از n نقطه یا n جریان مختلف برداشته شدهاند. ماتریس کواریانس حاصل از دادههای تشکیل دهنده ماتریس A، در رابطه 1-27، از رابطه زیر به دست میآید ]8[:

(1-28)
در رابطه 1-28، AT ترانهادهی ماتریس A میباشد.
از دیگر خواص تابع کواریانس این است که با استفاده از آن میتوان، واریانس دادههای سازگار شده را به دست آورد. این خاصیت با کدنویسی در نرم افزار متلب26 و انجام محاسبات مربوطه، ارائه شده است.
پس از اینکه، دادههای مربوط به هر جریان از طریق نمونهبرداری به دست آمد، موازنهی جرم مدار، به منظور تعیین دبی جریانهای مجهول انجام میشود. ماتریس Y، به مقادیر دبیهای 6 جریان موجود در فلوشیت شکل 1-2 نسبت داده میشود، پس میتوان نوشت ]10[:

همانطور که در قسمت فوق اشاره شد، با استفاده از تابع کواریانس میتوان، برای مقادیر سازگار شده نیز واریانس در نظر گرفت. با فرض اینکه، I یک ماتریس همانی برای شبکه فوق باشد، واریانس مقادیر سازگار شده از رابطه زیر به دست میآید ]10[:

W = [I – VAT(AVAT)-1A] (1-30)
Cov(WY) = W.V.WT (1-31)
در رابطه 1-30، ماتریس I یک ماتریس همانی قطری میباشد ]10[:
بنابراین ماتریس کواریانس برای فلوشیت فوق به صورت زیر به دست میآید ]10[:
ذکر این نکته ضروری است که ماتریس کواریانس جریانهای سازگار شده، متقارن میباشد و مقادیر قطری ماتریس، نشان دهنده واریانس دادههای سازگار شده و سایر عناصر بیان کننده همبستگیها میباشند. لازم به ذکر است که واریانس مقادیر سازگار شده، کمتر از واریانس مقادیر اندازهگیری شده است. در ستون آخر جدول 1-2، انحراف معیار مقادیر سازگار شده، ارائه شده است]10[.

جدول1-2: واریانس جریانهای سازگار شده ]10[
شماره جریاناندازهگیری خام (کیلوتن/ساعت)انحراف معیار (کیلوتن/ساعت)مقدار جریان سازگار شده (کیلوتن/ساعت)انحراف معیار(کیلوتن/ساعت)15/11082/024/10342/028/6053/042/6537/030/3546/082/3730/049/6871/042/6537/056/3845/082/3730/064/10120/124/10342/0
1-2-2- سازگارکردن در حالت دو خطی
1-2-2-1- سازگارکردن با استفاده از تکنیک دو مرحلهای کرو27 به کمک خطی سازی
وجود متغیرهای دبی و عیار اندازهگیری نشده عواقب جزیی را در روش کرو دارد. بسته به اندازه گیریهای انجام شده، جریانها میتوانند به صورت زیر به دو دسته تقسیم شوند[2]:
دستهی اول: وجود جریانهایی با دبیهای اندازهگیری شده و برخی یا همهی عیارهای اندازهگیری نشده.
دستهی دوم: وجود جریانهایی با دبیهای اندازهگیری نشده و برخی یا همهی عیارهای اندازهگیری نشده.
هنگامیکه دبی جریان یا عیار آن اندازهگیری نشده است، نمیتوان مقدار دبی فلز آن را به دست آورد. بنابراین، یک تناظر یک به یک، بین متغیرهای عیار و دبی فلز آنها وجود دارد و باید در نظر داشت که اگر عیار جریان اندازهگیری نشود، صرف نظر از اینکه دبی جریان مورد اندازه گیری قرار بگیرد، آنگاه نمیتوان مقدار دبی فلز را اندازهگیری کرد. منظور از دبی فلز نیز، ضرب مقدار دبی کل جریان در عیار است و روش کرو نیز مبتنی بر مقادیر فلز است. اگر دبیها اندازه گیری نشوند، مثل این است که دبی فلز نیز اندازهگیری نشده است و در نتیجه، اطلاعاتی راجع به ترکیب جریان وجود نخواهد داشت. برای دوری از این امر، روش کرو، دبیهای جریان و دبیهای فلز را به سه دسته تقسیم میکند[2]:
دستهی 1: تمام جریانها و تمام اجزای جریان مواد اندازهگیری شدهاند؛ بنابراین، این دسته بندی تنها شامل متغیرهای اندازهگیری شده است.
دستهی 2: تمام عیارهای جریان اندازهگیری شدهاند، اما دبیها اندازهگیری نشدهاند. این دسته بندی، همچنین شامل متغیرهای اندازهگیری نشدهی جریانها است؛ بنابراین، دارای ترکیبی از متغیرهای عیارهای اندازهگیری شده و دبیهای اندازهگیری نشده است.
دستهی 3: شامل دبیهای فلز متناظر با عیارهای اندازهگیری نشده است که ممکن است، دبی آن اندازهگیری شده یا نشده باشد. این دسته بندی فقط شامل متغیرهای اندازهگیری نشده است.
روش کرو یک مسئله دو مرحلهای را انجام میدهد. در مرحلهی اول، دبی فلز متناظر با عیارهای اندازهگیری نشده (دستهی 3) با استفاده از یک ماتریس مشاهده حذف میشوند. در مرحلهی دوم، دبیهای اندازهگیری نشده (دستهی 2) با استفاده از یک ماتریس مشاهده شمارهی 2، حذف میشوند. مقادیر سازگار شده دبیهای اندازهگیری شده، عیارهای اندازهگیری شده در جریانها با دبیهای اندازهگیری نشده و دبی فلز “اندازهگیری شده” به طور تکراری به دست می آیند. با استفاده از این مقادیر سازگار شده، متغیرهای اندازهگیری نشده دستهی 2 و 3، به طور برگشتی محاسبه میشوند. یکی از ویژگیهای این روش، این است که ماتریسهای مشاهده ثابت هستند و در هر تکرار نیاز به تخمین مجدد ندارند. از آنجا که مقادیر اصلاحات مستقیمأ با دبی های فلز “اندازهگیری شده” به جای عیارهای اندازهگیری شده متناظر به طور مستقیم به دست میآیند[2].
به منظور درک بهتر این روش، ابتدا یک فرآیند دارای چند ترکیب (عیار و تناژ)، مانند یک فرآیند تغلیظ، در نظر گرفته میشود. اگر m واحد، n جریان و C جزء وجود داشته باشد، آنگاه شرط آن به صورت زیر نوشته میشود [12]:
که در آن، xjk، عیار جزء k در جریان j و aij، کسر جرمی جزء i در جریان j است؛ به عبارت دیگر، از دیدگاه ماتریسی، برای برقراری شروط خطی در اینجا، aij همان ماتریس ارتباط گره و جریان است که مقادیر 1، 1- و صفر، روی درایههای آن قرار میگیرند. در اینجا، هدف، تعیین مقدار تخمین برای تمام جریانها و عیارها است. در تابع هدف، از مجموع مربعات وزندار نیز برای نزدیک کردن مقادیر تخمینی به مقادیر اندازهگیری شده، استفاده میشود. به عنوان یک جایگزین میتوان این مسئله را برای دبیهای کلی و دبیهای فلز در حالت خطی و به طور سادهتر به دست آورد که یکی از اهداف روش کرو است و در قسمت فوق نیز به آن اشاره شد.
در این حالت، دبی فلز به صورت رابطهی زیر تعریف میشود [12]:

که در رابطهی فوق، Njk، دبی فلز یک ترکیب از جزء k و جریان j است. با استفاده از این تغییر متغیر، موازنهی جرم اجزا میتواند به صورت رابطهی زیر نوشته شود [12]:
همچنین معادلات بقای فلزات نیز به صورت زیر نوشته میشوند [12]:

(1-37)
قسمت سوم رابطهی 1-37، معادله نرمال سازی است. میتوان دید، شروط در متغیرهای جریان، خطی بوده (مانند بقای جامد) و میتوانند در حل به کار برده شوند. کرو تابع اصلاح شده ای را برای تلفیق دادههای دو خطی (اصلاح مقادیر دبیهای جریان و عیارها)، پیشنهاد داد که مجموع مربعات را کمینه میکند و به شکل زیر نوشته میشود [2]:

(1-38)
از آنجایی که دبیهای فلزات اندازهگیری نشده است، در این تابع هدف لازم است، مقادیر اندازهگیری شدهی عیارها و فاکتورهای وزن برای این متغیر مورد استفاده قرار میگیرد. در واقع دبی یک فلز Njk با اندازهگیری هر دو مقدار جریان Fj و عیار xjk، به دست خواهد آمد. فاکتور وزن میتواند، وارون ماتریس واریانس خطای اندازهگیری باشد. یک تخمین از واریانس خطای دادهی به دست آمده، (N ̃_jk)، با استفاده از خطی سازی بخشهای اندازهگیری شدهی دبی و عیار صورت خواهد گرفت [2]:
(1-39)
واریانس خطای N ̃_jk با قانون جمع خطی مستقل متغیرهای پیرو توزیع نرمال به دست میآید: [2]:
(1-40)
فاکتور وزن WNjk را میتوان از معکوس نمودن ماتریس واریانس رابطهی فوق به دست آورد، انتخاب تابع هدف اصلاح شده برای تلفیق دادهها میتواند به مقدار بیشتری مقادیر اندازهگیری شده را مورد اصلاح قرار دهد. به هر حال، تابع هدف اصلاح شده، تلاش غیر مستقیم برای کمینه کردن و اصلاح کلی متغیرهای اندازهگیری شده دارد. تابع هدف معرفی شده کرو در رابطهی1-38، با شروط معرفی شده در روابط 1-36 و 1-37، مشروط میشود و مسئلهی تلفیق دادهها به صورت خطی خواهد شد. اگر کلیهی متغیرها، اندازهگیری شده باشند، میتوان جواب مسئله را به سرعت با استفاده از حل تحلیلی، یعنی در واقع روابط 1-22 و 1-25



قیمت: تومان

دسته بندی : پایان نامه

پاسخ دهید